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% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
\newmdtheoremenv[
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  linecolor=gray!10
]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{11.10 注释}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{1}

\begin{zremark}
  通过命题11.10.6，推导出以下命题（同济大学高等数学-定积分的换元法，即黎曼积分的换元法）：

  假设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，函数$x = \varphi(t)$满足条件：
  \begin{itemize}
    \item （1）$\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$；
    \item （2）$\varphi(t)$在$[\alpha, \beta]$（或$[\beta, \alpha]$）上具有连续导数，
          且其值域$R_{\varphi} = [a, b]$，则有
          \begin{align*}
            \int_{[a, b]} f(x) dx = \int_{[\alpha, \beta]} f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t) dt
          \end{align*}
  \end{itemize}
\end{zremark}

这里对$\varphi$的前置条件是不全的，以下条件是必须的：
\begin{itemize}
  \item （1）$\varphi$是可导的；
  \item （2）$\varphi$是单调的；
\end{itemize}

\textbf{证明：}

以$\varphi$单调递增为例，
$\varphi = [\alpha, \beta] \to [a, b]$，
又因为$f$在$[a, b]$上是连续的，所以$f$是$[a, b]$上黎曼可积的函数，
利用命题11.10.6可知，
\begin{align*}
  \int_{[a, b]} f
   & = \int_{[\alpha, \beta]} f \circ \varphi d\varphi \\
   & = \int_{[\alpha, \beta]} f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t) dt
\end{align*}



\end{document}